metnum modul 2

Gambaran Umum Galat

• — Penyelesaian secara numerik dari suatu persamaan matematis hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak (yang benar) dari penyelesaian analitis

• — Penyelesaian numerik akan memberikan kesalahan (galat) terhadap nilai eksak

• — Terdapat 2 jenis galat pada suatu bilangan (data), yakni galat absolut dan galat relatif

Galat Absolut dan Relatif

• — Galat absolut suatu bilangan adalah selisih antara nilai sebenarnya (dengan anggapan telah diketahui) dengan suatu pendekatan pada nilai sebenarnya

• — Hubungan antara nilai eksak (nilai sebenarnya), nilai perkiraan dan kesalahan diberikan dalam bentuk :

dimana :

x = nilai eksak

X = pendekatan pd nilai sebenarnya

e = kesalahan

• — Galat absolut suatu bilangan adalah selisih antara nilai sebenarnya (dengan anggapan telah diketahui) dengan suatu pendekatan pada nilai sebenarnya

• — Hubungan antara nilai eksak (nilai sebenarnya), nilai perkiraan dan kesalahan diberikan dalam bentuk :

dimana :

x = nilai eksak

X = pendekatan pd nilai sebenarnya

e = kesalahan

—

• — X merupakan nilai perkiraan terbaik

• — Dalam metode numerik formula di atas disebut pendekatan iteratif

• — Perkiraan sekarang dibuat berdasar perkiraan sebelumnya, sehingga :

di mana :

= nilai perkiraan pada iterasi ke n

= nilai perkiraan pada iterasi ke n+1

Sumber Utama Galat Numerik

• — Terdapat 3 macam sumber utama kesalahan (galat) , yakni :

1. Galat bawaan

2. Galat pemotongan

3. Galat pembulatan

Galat Bawaan (Inheren Error)

• — Galat dalam nilai data

• — Terjadi akibat kekeliruan dalam menyalin data, salah membaca skala atau kesalahan karena kurangnya pengertian mengenai hukum-hukum fisik dari data yang diukur

Contoh :

Pengukuran selang waktu 2,3 detik :

Ø Terdapat beberapa galat karena hanya dg suatu kebetulan selang waktu akan diukur tepat 2,3 detik

Ø Beberapa batas yang mungkin pada galat inheren diketahui :

• — Berhubungan dengan galat pada data yang dioperasikan oleh komputer dengan beberapa prosedur numerik

Galat Pemotongan (Truncation Error)

• — Berhubungan dengan cara pelaksanaan prosedur numerik

• — Contoh pada deret Taylor tak berhingga :

• — Formula di atas dapat dipakai untuk menghitung sinus sembarang sudut x dalam radian

• — Jelas kita tidak dapat memakai semua suku dalam deret, karena deretnya tak berhingga

• — Kita berhenti pada suku tertentu misal x⁹

• — Suku yang dihilangkan menghasilkan suatu galat

Dalam perhitungan numerik galat ini sangat penting

Galat Pembulatan

• — Akibat pembulatan angka
• — Terjadi pada komputer yang disediakan beberapa angka tertentu misalnya 5 angka
• — Sebagai contoh : penjumlahan 9,2654 + 7,1625 , menghasilkan 16,4279 yang terdiri dari 6 angka, sehingga tidak dapat disimpan dalam komputer dan akan dibulatkan menjadi 16,428

Deret Taylor

— Deret Taylor merupakan dasar untuk menyelesaikan masalah dalam metode numerik, terutama penyelesaian persamaan diferensial.

— Jika fungsi f(x) diketahui di titik x_i

— Semua turunan dari f terhadap x diketahui pada titik tersebut

— Dengan deret Taylor dapat dinyatakan nilai f pada titik x_i+1 yg terletak pada jarak Dx dari titik x_i

dimana :

= fungsi di titik x

= fungsi di titik x _{i + 1}

= turunan pertama, kedua, …. ke n dari fungsi

= jarak antara xi dan xi + 1

= kesalahan pemotongan

! = operator faktorial, misal 2! = 1 x 2

— Kesalahan pemotongan, Rn :

1. Orde nol (Memperhitungkan satu suku pertama)

Perkiraan akan benar bila fungsi yang diperkirakan adalah konstan

2. Orde 1 (Memperhitungkan dua suku pertama), berupa garis lurus ( naik/turun )

3. Order 2 (Memperhitungkan tiga suku pertama)

Kesalahan Pemotongan pada Deret Taylor

— Formula :

— Indeks n : deret yg diperhitungkan sampai suku ke n

— Indeks n +1 : kesalahan pemotongan mempunyai orde n+1

— Kesalahan pemotongan akan kecil bila :

1. Interval Dx kecil
2. Memperhitungkan lebih banyak suku deret Taylor

— Pada perkiraan order1 besar kesalahan pemotongan :